I. Вводное занятие и тестирование.
Тема 1. Тестирование уровня школьников и входных знаний.
Теоретические занятия:
Знакомство с целями и задачами курса.
Практические занятия:
Входная диагностика.
II. Модуль «Методы рассуждений»
Тема 2. Доказательства и опровержения.
Теоретические занятия:
Доказательство от противного. Построение отрицаний. Обобщение частных случаев и разбиение задачи на частные случаи. Достаточное и необходимое условие.
Практические занятия:
Решение задач.
Тема 3. Переменные.
Теоретические занятия:
Решения в «общем виде». Доказательство закономерностей. Построение словесных уравнений.
Практические занятия:
Решение задач.
Тема 4. Принцип крайнего
Теоретические занятия:
Принцип крайнего. Метод наименьшего контрпримера. Упорядочивание.
Практические занятия:
Решение задач.
Тема 5. Процессы
Теоретические занятия:
Понятие детерменированного процесса. Инвариант. Полуинвариант. Конечность процесса. Обратный ход.
Практические занятия:
Решение задач.
Тема 6. Метод математической индукции
Теоретические занятия:
Метод математической индукции для доказательств тождеств и неравенств. Редукция, метод спуска.
Практические занятия:
Решение задач.
Тема 7. Графы
Теоретические занятия:
Понятие графа, элементов графа и связанных с ним величин. Пути и обходы. Деревья. Двудольные графы. Подсчет двумя способами.
Практические занятия:
Решение задач.
III. Модуль «Алгебраические методы»
Тема 8. Текстовые задачи на оценивание величин.
Теоретические занятия:
Свойства неравенств и систем неравенств. Округления в задачах с оцениванием целочисленных величин.
Практические занятия:
Решение задач
Тема 9. Классические неравенства
Теоретические занятия:
Неравенства между средними. Неравенство AM-GM для нескольких переменных. Неравенство КБШ. Транснеравенство.
Практические занятия:
Решение задач
Тема 10. Огрубления и замены переменных
Теоретические занятия:
Неравенства с ограничениями. Симметризация и однородность неравенств. Огрубления при помощи неравенства AM-GM. Замена переменных в неравенствах.
Практические занятия:
Решение задач
Тема 11. Делимость
Теоретические занятия:
Основная теорема арифметики. Степень вхождения простого числа. НОД и НОК
Практические занятия:
Решение задач
Тема 12. Классические теоремы теории чисел.
Теоретические занятия:
Китайская теорема об остатках. Малая теорема Ферма. Понятие функции Эйлера и её свойства. Теорема Эйлера
Практические занятия:
Решение задач
Тема 13. Линейные диофантовы уравнения.
Теоретические занятия:
ЛДУ для двух переменных. Связь с китайской теоремой об остатках. ЛДУ для большего количества переменных. Теорема Сильвестра.
Практические занятия:
Решение задач
Тема 14. Нелинейные диофантовы уравнения.
Теоретические занятия:
Перебор остатков. Квадратичные вычеты. Преобразование уравнений. Метод спуска, уравнение Маркова. Взаимная простота множителей.
Практические занятия:
Решение задач
Тема 15. Классическая комбинаторика
Теоретические занятия:
Правила суммы и произведения. Кратные подсчёты. Формула включений-исключений. Число размещений и сочетаний. Счастливые билеты.
Практические занятия:
Решение задач
Тема 16. Квадратный трёхчлен
Теоретические занятия:
Теорема Виета. Свойства корней. Монотонность, экстремум для квадратичной функции. Сведение неравенств к квадратным.
Практические занятия:
Решение задач