I. Вводное занятие и тестирование.
Тема 1. Тестирование уровня школьников и входных знаний.
Теоретические занятия:
Знакомство с целями и задачами курса.
Практические занятия:
Входная диагностика.
II. Модуль «Алгебраические методы»
Тема 2. Многочлены
Теоретические занятия:
Формальный многочлен. Теорема о единственности деления. Основная теорема арифметики для многочленов. Теорема Безу. Кратность корней. Теорема Виета для уравнений высших степеней. Интерполяционный многочлен.
Практические занятия:
Решение задач.
Тема 3. Многочлены и делимость
Теоретические занятия:
Теорема Безу для многочленов с целыми коэффициентами. Целозначные многочлены. Содержание многочлена. Теорема Гаусса. Критерий неразложимости Эйзенштейна.
Практические занятия:
Решение задач.
Тема 4. От теоремы Эйлера.
Теоретические занятия:
Теорема Эйлера. Усиление теоремы Эйлера. Понятие показателя остатка по модулю. Лемма об уточнении показателя. Многочлены в Zp[x]. Теорема о существовании первообразного корня.
Практические занятия:
Решение задач.
Тема 5. Применение неравенств в теории чисел
Теоретические занятия:
Оценки, связанные с алгоритмом Евклида. Свойства ряда делителей. Слабый вариант постулата Бертрана.
Практические занятия:
Решение задач.
Тема 6. Теория множеств
Теоретические занятия:
Счетные и несчётные множества. Континуальные множества. Построение биекций между множествами. Отношение порядка на множествах. Теоремы Мирского, Дилуорса.
Практические занятия:
Решение задач.
Тема 7. Комбинаторика
Теоретические занятия:
Числа Каталана. Рекуррентные соотношения в комбинаторике. Оценочные задачи в графах: критерий гамильтоновости, хроматическое число графа.
Практические занятия:
Решение задач.
Тема 8. Задачи о таблицах
Теоретические занятия:
Связь таблицы и двудольного графа. Лемма Холла. Раскраски клетчатых досок, моделирование раскрасок по свойствам.
Практические занятия:
Решение задач.
Тема 9. Классические неравенства.
Теоретические занятия:
Неравенство Чебышева. Неравенство Титу. Неравенство Гёльдера. Диаграммы Юнга. Симметрические многочлены. Теорема Мюрхеда.
Практические занятия:
Решение задач
Тема 10. Комплексные числа
Теоретические занятия:
Понятие комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы КЧ. Модуль КЧ. Гауссовы числа.
Практические занятия:
Решение задач
III. Модуль «Математический анализ»
Тема 11. Свойства функций
Теоретические занятия:
Теоремы о существовании пределов. Монотонность и ограниченность. Сюръекия, инъекция.
Практические занятия:
Решение задач
Тема 12. Производная
Теоретические занятия:
Доказательство неравенств с помощью дифференцирования. Теоремы Ролля и Лагранжа. Выпуклость функции. Связь корней многочлена и корней производной.
Практические занятия:
Решение задач
Тема 13. Производная и неравенства.
Теоретические занятия:
Неравенство Юнга. Неравенство средних с весами. Метод Штурма для неравенств с разделяющимися переменными. Неравенство Йенсена.
Практические занятия:
Решение задач
IV. Модуль «Геометрические методы»
Тема 14. Двойные отношения
Теоретические занятия:
Понятие двойного отношения четверки точек. Симедиана. Гармоническая четверка точек прямой. Сохранение двойных отношений при проектировании. Лемма об изогоналях.
Практические занятия:
Решение задач